论做数学题，你可能还不如一只小蜜蜂

Original 韩飞科学大院 2022-01-06

一个4岁的孩子的数学能力怎么样？我们来给他出道题：“你刚才有5个棒棒糖，给了我1个，还剩几个？”孩子低头看看棒棒糖：“4个！”你又问：“那我再还给你1个，你还剩几个？”他大声回答道：“3个！”“不对！看清楚了！你现在有4个，我又给了你1个，还有几个？”

棒棒糖（图片来源：www.nipic.com）

他低头看了看，想了想，小声答道：5个！答对了！但是……很遗憾，这个小小的算术测试暴露了孩子有一个小“缺陷”，即他的大脑在处理数学问题时，调用的依然是语言系统和视觉系统，这导致他的答案是“看着数出来”的，而不是“算”出来的。

换句话说，给他出数量更大的题目（超过他的棒棒糖或手指头的个数），那么他的感受就跟成年后依然数学不灵光的人一样：每个字都听得懂，但连一起就死活不明白什么意思！

这种现象很普遍，以至于有“法兰西的莎士比亚”之称的维克多·雨果曾把数学面前的自己比作无辜的鸟。他哀叹：“在令人生厌的X轴和Y轴搭成的绞刑架上，他们（数学）折磨着我，从我的翅膀到我的喙”^[1]。

雨果写出了《巴黎圣母院》、《九三年》、《悲惨世界》，但对圆锥曲线和微积分很头痛。在数学上，他的表现颇“对不住”自己的名言：“A great artist is a great man in a great child”。（图片来源：视觉中国）

孩子错在哪里？

首先，他并没有真正理解加法和减法的概念。这是因为幼童的“数学脑区”尚在发育中，尚不成熟。当他能熟练地对数字进行四则运算时，这些脑区就基本成熟了。他长大以后再学习高等数学所调用的，也仍然是这些脑区^[2,3]。

2016年，法国巴黎-萨克雷大学的研究人员发现，当被试者大脑在处理高等数学命题（如拓扑学或几何学）时，那些数学好的人被激活的是3块边缘系统脑区，它们是双侧顶内沟区域（IPS）、双侧颞下回区域（IT）、前额叶皮层区域；而数学不好的人（他们在非数学领域同样成就非凡）被激活的，主要是语言功能脑区^[2]。

数学相关脑区：绿色是阿拉伯数字概念相关脑区，蓝色是数字运算相关脑区，红色是听到高等数学命题时的“数学家相关脑区”，它与前两者高度重叠（黄色区域）。（图片来源：参考文献[2]）

这意思就是，数学好的人真的是在用专门脑区处理数学问题，而其他领域的人纵然同样是精英（如大作家维克多·雨果），也只是像听天书一样在听题看题。只不过与普通人相比，天才或经过训练的数学家很擅长在处理高等数学命题时调用“数学脑区”，而文学家却可能语义处理的脑区更发达，对数字等反倒不敏感了。所以，孩子为什么在该用加法的地方错用了减法？很可能就是题干中的“还剩几个”误导了他。这是很多成年人做数学题的困扰吧：很容易在题干中钻牛角眼，为此痛苦不堪~~

其次，孩子的工作记忆、短时记忆功能尚欠佳。

做数学题时，人类要调用工作记忆功能（working memory）暂时存储工作状态，也就是知道他在做什么题、适用加法或减法的场景条件^[2,3]；短时记忆（short-term memory）呢，则是帮助孩子暂时存储一下数字信息^[2,3,4]，对方还给我几个？我手里本来有几个？加法或减法符号的两边分别是什么数字？诸如此类。如果工作记忆功能欠佳，那他就会拿起一个数字，不知道该干什么；而短时记忆欠佳，那他就会迷惑：应该谁加谁呢？1个还是2个？

工作记忆和短时记忆的容量都是有限的，它们合作让孩子可以聚精会神，在短时间内按步骤完成同一道习题。（图片来源：https://www.understood.org）

如何理解偷看一眼的动作？

我们还要注意一个细节：测试中的孩子最后回答上来了，但他是“低头看了看”才答上来的，这又是一个很好的深刻理解数学认知的线索。其实，包括人类在内的许多物种都有识别数量的能力^[4]。只不过，人类婴幼儿以及一些文化下的成年人类和其他物种（如鸟类、鱼类、青蛙/蟾蜍、昆虫等），是用基于视觉系统等的非符号化方式（without symbolic representation）来完成比较/识别数量任务的^[4]。

所以，初学算术的小孩子为什么那么依赖手指头和脚指头？因为要“看”着、挨个数出来.。这种本领并不需要复杂的大脑，至少蜜蜂的大脑就可以办到^[3]。2018年，伦敦大学玛丽女王学院（Queen Mary University of London）的研究人员发现，虽然蜜蜂的大脑神经元很少，只有可怜的100多万个（相比之下人类有860亿个之多！），但它们依然有办法完成计数任务（counting task）^[3]。

上：模型蜜蜂在不同的识别区域间飞行，同时检测亮度变化，提取图像密度等特征，以此来判断数量的多少。下：蜜蜂大脑可建立起“0”的抽象概念。（图片来源：参考文献[3]）

研究人员用计算机仿真的办法，做出了一个只有4个神经元的“微型蜜蜂脑”，结果发现它依然能很好完成区分数量的多少。秘诀就是充分调动视觉处理功能：仿真蜜蜂脑不像人脑一样先扫描整体，再迅速算出最少的那一个，而是逐一扫描，把圆圈内部黄色斑点的多少转变为视觉输入信号（如亮度）的差异，最后得到更多/更少的估算。这样“解题算法”虽然比较耗时，但减轻了对大脑“算力”的要求^[3]。与这种算法相类似的，是人类在人工智能领域发明的“卷积神经网络算法（CNN）”。这也是一种主要依赖于视觉的算法。另一项研究还表明，蜜蜂靠这种天生的“神经网络算法”还能区分0的概念，“知道”0是一个比1“更小”的数字（蜜蜂是唯一一种被发现有抽象概念学习能力的昆虫），了不起^[3,4]！

此外，蜜蜂大脑靠此算法，还具备了“鉴别”名画的能力。

澳大利亚的研究人员为蜜蜂准备了两组绘画作品，一组是印象派大师莫奈（Monet）的，一组是立体派大师毕加索（Picasso）的。在毕加索画作的中央滴有蜜蜂爱的糖水，而在莫奈的画中央滴有稀释过的奎宁溶液。经过一番尝试过，蜜蜂知道只有在Noŋgirrŋa Marawili的画作上才有“甜头”吃。然后，研究人员又准备了两组两个画家的作品，都是蜜蜂训练中没有见过的，但后者未经随机尝试，就在扫描之后飞向了毕加索的画中央找甜头^[3]。

分析认为，蜜蜂的大脑不但可以接收紫外光等视觉信号，进而提取对象的亮度、颜色和空间频率等等特征，还能对这些特征进行概括，进而在脑神经网络较为“低级”的情况下，通过“高级算法”获得区分对象的“高级认知”^[3]。显然，常在花丛中飞来飞去的小蜜蜂太知道如何把一件工具打磨发挥到极致，它们不但能识别风景、花卉、人脸，还能记住不同画作的艺术风格，高级^[3]！

蜜蜂识别艺术风格实验示意图：上，整体示意图；下：为蜜蜂提供训练的两组莫奈和毕加索画作。这项实验表明，识别艺术风格等抽象概念，并不是人脑才具备的高级功能，蜜蜂的大脑也具备从视觉图像存储、特征提取、高度概括的高级功能。（图片来源：参考文献[3]）

想像蜜蜂一样聪明？AI还得练！

一个很有意思的问题来了：

小小蜜蜂固然可以像人类幼童一样，利用视觉算法完成识数任务，但能像成年人类一样，靠抽象逻辑概念来做算术吗？换句话说，4岁人类儿童不会的加减法，蜜蜂会吗？就像前文所说的，抽象的加减法似乎需要高级的数学脑区功能和工作记忆、短时记忆等功能。蜜蜂大脑只有区区100多万个神经元，可以吗？

答案是，可以的。最近，澳大利亚墨尔本皇家理工大学（ RMIT University in Melbourne）的研究人员进行了一项研究，他们给蜜蜂设置了一套Y形的装置。一开始，蜜蜂待在起点“读题”，题板上有1-5个带色的形状，它们的总和代表一个数字。如果形状是蓝色，那么蜜蜂就要到分叉口+1，然后选出正确答案指示的通道；如果是黄色，那么就要到分叉口-1，然后选出正确答案指示的通道。答对了（Correct answer），就有糖水奖励一下；答错了（Incorrect answer），就只有稀释过的奎宁溶液喝^[4]。

蜜蜂答题示意图（图片来源：参考文献[4]）

要知道，蜜蜂不会说人言，也听不懂人话，所以无法从人类那里学来规则（这多像一些人工智能模型啊）。那么，蜜蜂就要靠自己去猜规则、学习规则，并完成运算的高级任务。结果，在一番随机尝试之后，蜜蜂忽然之间开了窍，它们悟到了游戏背后的数学规则，接着老老实实做起了5以内的加减法，正确率很高（100次尝试之后，正确率在75-85%）^[4]。

这很棒！因为实验证明了两件事：1，正如前文所说的，蜜蜂可以识别数量；2，蜜蜂可以进行抽象的四则运算，虽然它的大脑只有100多万个神经元，脑力有限，但是通过自主学习（rapid self-learning），蜜蜂可以达到前额叶皮层等数字处理脑区基本发育成熟的学龄儿童水平^[2,4]。

经过自主学习，“差生”小蜜蜂的数学成绩从50分的随机水平，上升到了80多分的“优等生”水平。图片来源：参考文献[4]。

这些结果对科学家特别是人工智能科学家是一个很大的鼓舞，原来完成复杂的视觉算法和高级认知，并不非得需要860亿个神经元那么多，100多万或更少也是可以的！也许有一天，无监督学习下的人工智能算法也可以像蜜蜂的大脑那样，在数学问题上拥有强大的快速自主学习能力，这种能力可意译成“无师自通（rapid self-learning）”。

最后，也许你也可以像开头那样，考一考学龄前儿童5以内的加减法：给定一个数字，每次+1/-1后的选择题，告诉他2个选项，看看他可以做多少分。如果只能得50分左右，那他就是在瞎猜；如果得75-85分（正确率80%左右），那恭喜，他的水平跟一只小蜜蜂一样优秀了！

嘤嘤嘤小蜜蜂（图片来源：https://www.rmit.edu.au/news/all-news/2019/feb/bees-brains-maths）

参考文献:

[1] 吕克·德·布拉班迪尔，《极简算法史》，2019;

[2] Amalric et al, "Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians." Proceedings of the National Academy of Sciences (2016): 201603205;

[3] Vera Vasas et al, Insect-inspired sequential inspection strategy enables an artificial network of four neurons to estimate numerosity, iScience (2018). DOI: 10.1016/j.isci.2018.12.009;

[4] S.R. Howard el al., "Numerical cognition in honeybees enables addition and subtraction," Science Advances (2019). DOI: 10.1126/sciadv.aav0961 , http://advances.sciencemag.org/content/5/2/eaav0961.

作者单位：中国科学院分子植物科学卓越创新中心/植物生理生态研究所

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